部屋の中でかぶれる帽子はありますか？

基本的には室内で帽子をとるのがマナーですが、ブリムがない帽子や、ブリムやクラウンが小さいものは、かぶっていても問題ないと思います。TPOに合わせて使いこなすことが必要です。

西洋の帽子文化においては、男性は屋根のあるところでは帽子は脱ぐもの、女性の帽子は髪飾りと同じ扱いで脱がす方が失礼に当たる、と言われていますが、日本は本格的な帽子のマナーはあまり浸透していないようなので、その場の雰囲気や居合わせた人々の様子を見て判断するのが適切かもしれません。